Question

6．设实数x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{y≥\frac{1}{2}x}\\{y≤3x}\\{y≤-x+1}\end{array}}\right.$目标函数z=ax+y取最大值有无穷多个最优解，则实数a的取值为-3或1．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
若a=0，则y=z，此时满足条件最大值不存；
若a＞0，由z=ax+y得y=-ax+z，
若a＞0，∴目标函数的斜率k=-a＜0．
平移直线y=-ax+z，
由图象可知当直线 y=-ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，此时a=1满足条件；
若a＜0，目标函数的斜率k=-a＞0．
平移直线y=-ax+z，
由图象可知直线y=-ax+z，和直线y=3x平行时，
此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，
此时a=-3满足条件．
故答案为：-3或1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．