Question

14．方程$\sqrt{1+lo{g}_{x}\sqrt{27}}$•log₃x+1=0的解集是{x|x=$\frac{1}{9}$}．

Answer 1

分析 利用对数的性质由原式等价变换得到2（log_x3）²-3log_x3-2=0，由此利用一元二次方程的性质能求出$\sqrt{1+lo{g}_{x}\sqrt{27}}$•log₃x+1=0的解集．

解答 解：∵$\sqrt{1+lo{g}_{x}\sqrt{27}}$•log₃x+1=0，
∴$\sqrt{1+lo{g}_{x}\sqrt{27}}$=$\frac{-1}{lo{g}_{3}x}$=-log_x3≥0，
∴log_x3≤0，
两边平方，得：$1+lo{g}_{x}\sqrt{27}$=（log_x3）²，
∴$（lo{g}_{x}3）^{2}-\frac{3}{2}lo{g}_{x}3-1=0$，
即2（log_x3）²-3log_x3-2=0，
解得log_x3=-$\frac{1}{2}$，或log_x3=2（舍去），
∴x=$\frac{1}{9}$
∴方程$\sqrt{1+lo{g}_{x}\sqrt{27}}$•log₃x+1=0的解集是{x|x=$\frac{1}{9}$}．
故答案为：{x|x=$\frac{1}{9}$}．

点评 本题考查方程的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．