已知椭圆
的离心率为
,短轴一个端到右焦点的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程:
(Ⅱ)设直线
与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线的距离为
,求△AOB面积的最大值.
(Ⅰ) 
.
(Ⅱ) 
面积取最大值
.
解析试题分析：(Ⅰ)属于椭圆的基本题型.通过建立
的方程组，求得椭圆方程为.
(Ⅱ)解答本小题，应注意讨论
轴和当
与
轴不垂直的两种情况.在与轴不垂直设直线的方程为
.利用坐标原点
到直线的距离为，建立
的方程.通过将直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理、弦长公式，得到
.应用均值定理得到
．
试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
，依题意，离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.
，
，∴所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设
.
①当轴时，
.
②当与轴不垂直时，设直线的方程为.
∵坐标原点到直线的距离为，
，
把代入椭圆方程，整理得
，
当且仅当
时等号成立，
当
时，，
综上所述．
∴当
最大时，面积取最大值
．
考点：椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，均值定理的应用.
超能学典应用题题卡系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的右准线
，离心率
，
，
是椭圆上的两动点，动点
满足
，（其中
为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当
且直线
与
斜率均存在时，求
的最小值；
（3）若
是线段的中点，且
，问是否存在常数和平面内两定点
，
，使得动点满足
，若存在,求出的值和定点，;若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元)；
(2)为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为
的三段式污水处理池，池高为1
，如果池的四周墙壁的建造费单价为
元
，池中的每道隔墙厚度不计，面积只计一面，隔墙的建造费单价为
元，池底的建造费单价为
元
，则水池的长、宽分别为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？
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．
，
及
的符号；
”． 
的最小值，其中