Question

【题目】如果数列，，…，（m ≥ 3，）满足：①＜＜…＜；②存在实数，，，…，和d，使得≤＜≤＜≤＜…≤＜，且对任意0 ≤ i ≤ m﹣1（I ），均有，那么称数列，，…，是“Q数列”．

（1）判断数列1，3，6，10是不是“Q数列”，并说明理由；

（2）已知k，t均为常数，且k＞0，求证：对任意给定的不小于3的正整数m，数列 （n＝1，2，…，m）都是“Q数列”；

（3）若数列（n＝1，2，…，m）是“Q数列”，求m的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）是（2）见解析（3）3或4

【解析】

（1）存在数列-1，2，5，8，11成等差，且有-1<1<2<3<5<6<10<11,所以数列1，3，6，10是“Q数列”;(2) 因为常数k > 0，，恒成立，所以数列（n = 1，2，…，m）满足①m为任意给定的不小于3的正整数，恒成立，满足②即可得证；（3）m=3或4时可举出具体的数列满足条件；当m=5时，不成立，从而当m≥5时，数列{2n}，（n=1，2，3，…，m）不可能为“Q数列”，由此求出m的所有可能取值为3或4．

（1）数列1，3，6，10是“Q数列”.因为存在数列-1，2，5，8，11成等差，且有-1<1<2<3<5<6<10<11.所以数列1，3，6，10是“Q数列”

（2）因为常数k > 0，，恒成立，所以数列（n = 1，2，…，m）满足①.

又存在等差数列（n = 0，1，…，m），其中，

使得对任意的n = 1，2，…，m，其中m为任意给定的不小于3的正整数，

恒成立，满足②，即证.

（3）当m = 3时，对于数列2，4，8，存在等差数列0，3，6，9满足条件.

当m = 4时，对于数列2，4，8，16，存在等差数列-3，2，5，8，13，5，19满足条件.

当时，若存在初数和d，使得

，且任意，均有.

则有.

所以，

所以，这与矛盾，

所以当时，数列（n = 1，2，…，m）不可能为“Q数列”.

所以m的所有可能值为3或4.