Question

直线l是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

分析：根据圆被分成的两段圆弧的弧长比为2：1，可以求出两个交点与圆心构成的圆心角为120度，根据对称性，在第一象限的交点A原点O所构成直线的倾斜角为60度，记右准线与x轴的交点为B． 则可根据

|OB|

|OA|

cos60°求得a和c的关系，进而求得离心率e．

解答：解：c²=a²+b²
由于圆被分成的两段圆弧的弧长比为2：1，
所以可以求出两个交点与圆心构成的圆心角为120°，
根据对称性，在第一象限的交点A原点O所构成直线的倾斜角为60°
记右准线与x轴的交点为B．
所以

|OB|

|OA|

=

a2 c

a

=

a

c

=cos60°=

1

2

所以e=

c

a

=2．
故答案为2．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对基础知识的熟练程度．