Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的导函数，把函数f（x）在[1，+∞）上为增函数转化为导函数大于等于0恒成立问题，再转化为关于正实数a的不等式问题即可求出正实数a的取值范围；
（Ⅱ）先求出函数的导函数以及导数为0的根，进而求出其在[

1

2

，2]上的单调性即可求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，
∴f'（x）=

ax-1

ax2

   （a＞0）
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数
∴f'（x）=

ax-1

ax2

≥0对 x∈[1，+∞）恒成立 
∴ax-1≥0 在x∈[1，+∞）上恒成立 
∴a≥

1

x

，对x∈[1，+∞）恒成立 
∴a≥1．
（Ⅱ）当a=1时，f'（x）=

x-1

x2

．
当x∈[

1

2

，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[

1

2

，1）上单调递减；
当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上单调递增．
∴f（x）在x∈[

1

2

，2]上有唯一极小值点，
故f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=0
∵f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

．
∵e³＞16，∴f（

1

2

）-f（2）＞0?f（

1

2

）＞f（2）．（10分）
∴f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值f（x）=f（

1

2

）=1-ln2．
综上可知，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．

点评：本题第二问考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．