Question

6．在△ABC中，∠C=90°，M是BC边上一点，且CM=$\frac{1}{3}$CB，则sin∠BAM的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 以CB，CA为x，y轴建立坐标系，设B（4a，0），A（0，b），求出$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$，利用数量积公式表示出cos∠BAM，利用基本不等式求出最小值，sin²∠BAM+cos²∠BAM=1，sin∠BAM≥0，求出sin∠BAM的最大值．

解答 解：以CB，CA为x，y轴建立坐标系，
设B（3a，0），A（0，b），
∵CM=$\frac{1}{3}$CB，
∴M（a，0），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=（a，-b）•（3a，-b）=3a²+b²，
∴cos∠BAM=$\frac{3{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}•\sqrt{9{a}^{2}+{b}^{2}}}$
=$\frac{3{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{（3{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}+4{a}^{2}{b}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠BAM最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵sin²∠BAM+cos²∠BAM=1，sin∠BAM≥0，
∴sin∠BAM的最大值是为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查通过建立坐标系解决sin∠BAM的最大值问题；利用基本不等式求最值，属于一道中档题．