Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是椭圆

y2

2

+x2=1的上焦点，离心率为

2 5

5

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若

MA

=m

FA

，

MB

=n

FB

，求m+n的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）首先，根据椭圆的焦点位置，设出其方程为为：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），然后，利用顶点和离心率确定其中的参数a，b，即可求解其标准方程；
（2）首先，写出椭圆的右焦点的坐标，然后，设出直线l的方程和A，B两点的坐标，然后，联立方程组，结合向量的坐标运算求解即可．

解答： 解：（1）设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），
∵椭圆

y2

2

+x2=1的上焦点为（0，1），
∴b=1，
又∵离心率e=

c

a

=

2 5

5

．
∴a²=5，
∴椭圆的标准方程为：

x2

5

+y2=1．
（2）∵椭圆C的右焦点F（2，0），由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：y=k（x-2），（k＜0），
设两点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴点M（0，-2k），
∴

MA

=（x₁-0，y₁+2k）=（x₁，y₁+2k），

FA

=（x₁-2，y₁-0）=（x₁-2，y₁），

MB

=（x₂，y₂+2k）

FB

=（x₂-2，y₂），
∵

MA

=m

FA

，

MB

=n

FB

，
∴（x₁，y₁+2k）=m（x₁-2，y₁），
（x₂，y₂+2k）=n（x₂-2，y₂），
∴x₁=mx₁-2m，x₂=nx₂-2n
∴m=

x1

x1-2

，n=

x2

x2-2

，
联立方程组

x2 5 +y2=1 y=k(x-2)

，
消去y并整理，得
（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，
x₁+x₂=

20k2

1+5k2

，x₁•x₂=

20k2-5

1+5k2

，
∵m=

x1

x1-2

，n=

x2

x2-2

，
∴m+n=

x1

x1-2

+

x2

x2-2

，
=

x1(x2-2)+x2(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=-10．
∴m+n的值-10．

点评：本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．本题解题关键是准确应用向量的坐标运算和直线与圆锥曲线的一般处理思路．