Question

已知函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线．
（ I）求实数a，b，c的值；
（ II）设函数F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）欲求实数a，b，c的值，只须求出切线斜率的值，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用斜率相等及都过点P列出等量关系，从而问题解决．
（II）欲求函数F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的单调区间，利用导数来解决．先求出F（x）的导数，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可．

解答：解：（ I）由题设知：

f(2)=0 g(2)=0 f′(2)=g′(2)

?

16+2a=0 4b+c=0 24+a=4b

?

a=-8 b=4 c=-16

实数a，b，c的值分别为：-8，4，-16．
（ II）F（x）=2x³+4x²-8x-16F′（x）=6x²+8x-8
令F′（x）=6x²+8x-8＞0得x＞

2

3

或x＜-2
令F′（x）=6x²+8x-8＜0得-2＜x＜

2

3

所以F（x）递增区间为(-∞，-2)，(

2

3

，+∞)
递减区间为(-2，

2

3

)．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．