Question

【题目】如图，在三棱台中， ， 分别是， 的中点， 平面, 是等边三角形， , ,.

（1）证明： 平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）根据棱台的性质和三角形的中位线可以得到，从而得到平面.在梯形中， （为棱的中点），所以平面，从而可以证明平面平面，也就能得到平面.（2）以所在直线分别为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量的夹角得到二面角的正弦值为.

解析：（1）证明：因为, 为棱的中点，所以,所以四边形为平行四边形，从而.又平面,平面,所以平面. 因为是的中位线,所以,同理可证, 平面.因为,所以平面平面. 又平面,所以平面.

（2）以所在直线分别为轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,则.

设平面的一个法向量,则 即

取，得.

同理，设平面的一个法向量，又,

由，得取，得.所以，即二面角的正弦值为.