【题目】如图,矩形中,
,
,点
是
上的动点.现将矩形
沿着对角线
折成二面角
,使得
.
(Ⅰ)求证:当时,
;
(Ⅱ)试求的长,使得二面角
的大小为
.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)由余弦定理求得,进而得
,所以有
,即
,同理可在
中,得
,进而得
平面
,从而得证;
(Ⅱ)易证得两两垂直,以
为原点,
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系
,进而求得面
和面
的法向量,利用法向量求解即可.
试题解析:
解:(Ⅰ)连结,
.
在矩形中,
,
,
.
在中,∵
,
,
∵,
,即
.
又在中,
,
∴在中,
,
,
又,
∴平面
.
∴.
(Ⅱ)解:在矩形中,过
作
于
,并延长交
于
. 沿着对角线
翻折后,
由(Ⅰ)可知, 两两垂直,
以为原点,
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系
,则
,
平面
,
为平面
的一个法向量.
设平面的法向量为
,
,
由得
取则
,
.
即
,
.
当
时,二面角
的大小是
.
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【题目】为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重,经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于至
之间,将数据分成以下
组,第一组
,第二组
,第三组
,第四组,第五组
,得到如图所示的频率分布直方图,现采用分层抽样的方法,从第
、
、
组中随机抽取
名学生做初检.
(Ⅰ)求每组抽取的学生人数.
(Ⅱ)若从名学生中再次随机抽取
名学生进行复检,求这
名学生不在同一组的概率.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别是
,椭圆C的上顶点到直线
的距离为
,过
且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M,N两点,
且|MN|=1。
(I)求椭圆的方程;
(II)过点的直线与椭圆C相交于P,Q两点,点
),且
,求直线
的方程。
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【题目】为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为15.
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设表示体重超过65公斤的学生人数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】是定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合:①对任意的
,都有
②存在常数
使得对任意的
,都有
.
(1)设问
是否属于
?说明理由;
(2)若如果存在
使得
证明:这样的
是唯一的;
(3)设且
试求
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为:(
),M是
上的动点,P点满足
,P点的轨迹为曲线.
(1)求的参数方程;
(2)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与
的异于极点的交点为A,与
的异于极点的交点为B,求
.
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