【题目】如图,在三棱台中,
,
分别是
,
的中点,
平面
,
是等边三角形,
,
,
.
(1)证明: 平面
;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)根据棱台的性质和三角形的中位线可以得到,从而得到
平面
.在梯形
中,
(
为棱
的中点),所以
平面
,从而可以证明平面
平面
,也就能得到
平面
.(2)以
所在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系
,通过计算平面
和平面
的法向量的夹角得到二面角
的正弦值为
.
解析:(1)证明:因为,
为棱
的中点,所以
,所以四边形
为平行四边形,从而
.又
平面
,
平面
,所以
平面
. 因为
是
的中位线,所以
,同理可证,
平面
.因为
,所以平面
平面
. 又
平面
,所以
平面
.
(2)以所在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,设
,则
,则
.
设平面的一个法向量
,则
即
取,得
.
同理,设平面的一个法向量
,又
,
由,得
取
,得
.所以
,即二面角
的正弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两名同学准备参加考试,在正式考试之前进行了十次模拟测试,测试成绩如下:
甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146
(1)画出甲、乙两人成绩的茎叶图,求出甲同学成绩的平均数和方差,并根据茎叶图,写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论;
(2)规定成绩超过127为“良好”,现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个,求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望.
(注:方差,其中
为
的平均数)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间内,其频率分布直方图如图.
(Ⅰ)求获得复赛资格的人数;
(Ⅱ)从初赛得分在区间的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取
人参加学校座谈交流,那么从得分在区间
与
各抽取多少人?
(Ⅲ)从(Ⅱ)抽取的人中,选出
人参加全市座谈交流,设
表示得分在区间
中参加全市座谈交流的人数,求
的分布列及数学期望E(X).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在R上的奇函数满足
,且在[0,1)上单调递减,若方程
在[0,1)上有实数根,则方程
在区间[-1,7]上所有实根之和是
A. 12 B. 14 C. 6 D. 7
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,椭圆:
的焦距与椭圆
:
的短轴长相等,且
与
的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为
,直线
经过
在
轴正半轴上的顶点
且与直线
(
为坐标原点)垂直,
与
的另一个交点为
,
与
交于
,
两点.
(1)求的标准方程;
(2)求.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为15.
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设表示体重超过65公斤的学生人数,求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】吸烟有害健康,远离烟草,珍惜生命。据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02,一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病,则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为( )
A. B.
C.
D. 不确定
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