Question

10．已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+m），（m∈R），其中x∈[0，15]，a＞0且a≠1．
（1）若1是关于方程f（x）-g（x）=0的一个解，求m的值．
（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意：1是关于方程f（x）-g（x）=0的一个解，直接带入计算求出m的值即可．
（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，等价于$\sqrt{x+1}≤2x+m，x∈[{0，15}]$恒成立，从而解出m的取值范围．

解答 解：由题意：1是关于方程f（x）-g（x）=0的一个解，可得：log_a2=2log_a（2+m），解得$m=-2+\sqrt{2}$或$m=-2-\sqrt{2}$
∵2+m＞0
∴$m=-2-\sqrt{2}$不符合题意．
所以m的值为$\sqrt{2}-2$．
（2）f（x）≥g（x）恒成立，等价于$\sqrt{x+1}≤2x+m，x∈[{0，15}]$恒成立．
即：$m≥\sqrt{x+1}-2x$，x∈[0，15]恒成立．
令$u=\sqrt{x+1}，u∈[{1，4}]$，
则$\sqrt{x+1}-2x=-2{（{u-\frac{1}{4}}）^2}+\frac{17}{8}，u∈[{1，4}]$
当u=1时，$\sqrt{x+1}-2x$的最大值为1．
所以：m≥1即可恒成立．
故m的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了对数的基本计算和恒成立问题．恒成立问题：常见的方法了最值法，分离参数法，判别式法，根据不同题型采用不同的方法．属于中档题．