Question

三角形ABC中，三内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c=10，且

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

．
（1）求证：三角形ABC是直角三角形；
（2）过AB中点E作直线MN与射线CA，CB分别交于M，N，求|ME|•|NE|的最小值，并求出此时直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理和条件得sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，结合条件得A+B=

π

2

，判断出三角形的形状；
（2）先由条件建立坐标系，再求出点A、B、E的坐标，再设∠NMC=θ，利用直角三角形的三角函数求出|ME|•|NE|的表达式，再由正弦函数的最值求出它的最小值，以及对应的θ的值，即求出直线的斜率，再代入点斜式方程化简．

解答：（1）证明：由正弦定理得，

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，
则sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
又∵

b

a

=

4

3

，∴A≠B，则A+B=

π

2

，C=

π

2

．
∴三角形ABC是直角三角形，
（2）解：以C为原点，CA、CB分别为x轴，y轴建系如图：

则A（8，0），B（0，6），从而E（4，3）．
设∠NMC=θ，则|EM|=

3

sinθ

，|EN|=

4

cosθ

，
|EM|•|EN|=

12

sinθcosθ

=

24

sin2θ

．
当2θ=90°，θ=45°时，|EM|•|EN|最小值为24．
∴直线MN的斜率是-1，则直线MN方程为y-3=-（x-4），
即直线MN的方程x+y-7=0．

点评：本题正弦定理，三角恒等变换的公式，以及坐标法的应用，属于中档题．