Question

已知变量t，y满足关系式log_a

t

a3

=log_t

y

a3

（a＞0且a≠1，t＞0且t≠1），变量t，x满足关系式log_at=x．
（1）求y关于x的函数表达式y=f（x）；
（2）若（1）中确定的函数y=f（x）在区间[2a，3a]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件利用对数的运算性质求得y关于x的函数表达式y=f（x）．
（2）令x²-3x+3=t，则函数t的对称轴为x=

3

2

，且 y=a^t．由题意可得

3

2

∉[2a，3a]，故有a＞0，a≠1，2a≥

3

2

，或 3a≤

3

2

，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）由log_a

t

a3

=log_t

y

a3

 可得 log_at-3=

logay-3

logat

，
再把log_at=x代入可得 x-3=

logay-3

x

，即 log_ay=x²-3x+3，即 y=ax2-3x+3 （x≠）．
（2）令x²-3x+3=t，则函数t的对称轴为x=

3

2

，且 y=a^t．
由函数y=f（x）在区间[2a，3a]上是单调函数，可得

3

2

∉[2a，3a]，
∴a＞0，a≠1，2a≥

3

2

，或 3a≤

3

2

．
求得 0＜a≤

1

2

，或

3

4

≤a＜1，或 a＞1，即a的范围为（0，

1

2

]∪[

3

4

，1）∪（1，+∞）．

点评：本题主要考查对数的运算性质、对数函数的图象和性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想．