Question

（本小题满分12分）

   已知椭圆的离心率为e=，且过点（）

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+m(k≠0，m＞0)与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.

 

Answer 1

【答案】

.解：（Ⅰ）∵e=   ∴c= a      

∴b²=a²-c²= a²

故所求椭圆为：………………………………（1分）

又椭圆过点（）   ∴    ∴a² =4.   b² =1   ∴（3分）

(Ⅱ)设P（x₁,y₁）, Q（x₂,y₂）,PQ的中点为（x₀,y₀）

将直线y=kx+m与

联立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0

   ①

又x₀=……………………（5分）

又点［-1，0）不在椭圆OE上，

依题意有

整理得3km=4k²+1   ②……………………………………………………（7分）

由①②可得k²＞，∵m＞0, ∴k＞0,∴k＞……………………（8分）

设O到直线l的距离为d，则

S_△OPQ =

=……………………………（10分）

当的面积取最大值1，此时k= 

∴直线方程为y= ……………………………………（12分）

 

【解析】略