Question

已知a＞0，b＞0，m＞0，n＞0，求证：a^m+n+b^m+n≥a^mbⁿ+aⁿb^m．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：直接利用作差法，通过因式分解，然后通过a、b的大小讨论，证明不等式即可．

解答： 证明：a^m+n+b^m+n-（a^mbⁿ+aⁿb^m）
=（a^m+n-a^mbⁿ）-（aⁿb^m-b^m+n=a^m（aⁿ-bⁿ）-b^m（aⁿ-bⁿ）=（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）．
当a＞b时，a^m＞b^m，aⁿ＞bⁿ，∴（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）＞0；
当a＜b时，a^m＜b^m，aⁿ＜bⁿ，∴（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）＞0；
当a=b时，a^m=b^m，aⁿ=bⁿ，∴（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）=0．
综上，（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）≥0，即a^m+n+b^m+n≥a^mbⁿ+aⁿb^m．

点评：本题考查不等式的证明，作差法的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题．