Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n（4-S_n），n∈N^*，若集合M={n|b_n≥λ，n∈N^*}恰有5个元素，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}•\frac{{a}_{n}}{n}$，利用等比数列的通项公式可得：a_n．
（II）利用“错位相减法”可得S_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}$a_n，∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}•\frac{{a}_{n}}{n}$，
数列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，首项为1．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴a_n=n$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）由（1）知：S_n=1+$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．
∴b_n=n（4-S_n）=$\frac{n（n+2）}{{2}^{n-1}}$，n∈N^*，
∴b_n+1-b_n=$\frac{-{n}^{2}+3}{{2}^{n}}$，
∴当n=1时，b₂＞b₁，
n≥2时，b_n+1＜b_n．
∵b₁=3，b₂=4，b₃=$\frac{15}{4}$，b₄=3，b₅=$\frac{35}{16}$，b₆=$\frac{3}{2}$．
要使得集合M有5个元素，实数λ的取值范围为：$\frac{3}{2}＜λ≤\frac{35}{16}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．