Question

（2012•潍坊二模）已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{b_n}满足b₁=2，b_n≠1，且(bn-bn+1)•g(bn)=f(

b

n

)(n∈N*)．
（I）求a_n并证明数列{b_n-1}是等比数列；
（II）若数列{c_n}满足cn=

an

4n-1•(bn-1)

，证明：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜3．

Answer 1

分析：（I）由题意点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上，所以a_n²=S_2n-1，再令n=1，2求得首项和公差，从而得出通项公式a_n，利用(bn-bn+1)•g(bn)=f(

b

n

)(n∈N*)，化简即可证明数列{b_n-1}是等比数列；
（II）由（I）得数列{b_n-1}的通项，从而可得数列{c_n}的通项，用错位相减法求出它的值，即可得到答案．

解答：（I）解：因为点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上，所以a_n²=S_2n-1，
令n=1，n=2，可得a₁²=S₁，a₂²=S₃，
∴a12=a1，(a1+d)2=3a1+3d
∴a₁=1，d=2（d=-1舍去）
∴a_n=2n-1；
∵(bn-bn+1)•g(bn)=f(

b

n

)(n∈N*)
∴4(bn-bn+1)•(bn-1)=(bn-1)2(n∈N*)
∴

bn+1-1

bn-1

=

3

4

∴数列{b_n-1}是以1为首项，

3

4

为公比的等比数列；
（II）证明：由上知b_n-1=(

3

4

)n-1
∴cn=

an

4n-1•(bn-1)

=

2n-1

3n-1

令T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
则T_n=

1

30

+

3

31

+…+

2n-1

3n-1

①
∴

1

3

T_n=

1

31

+

3

32

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

②
①-②得

2

3

T_n=

1

30

+

2

31

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

2-

2(n+1)

3n

∴T_n=3-

n+1

3n-1

＜3
即c₁+c₂+c₃+…+c_n＜3．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，数列的求和，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．