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    设数列{an}满足：a1=
    5
    6
    ，且an=
    1
    3
    an-1+
    1
    3
    （n∈N*，n≥2）
    （1）求证：数列{an-
    1
    2
    }为等比数列，并求数列{an}的通项an；
    （2）求{an}的前n项和Sn．
    分析：（1）由an=
    1
    3
    an+
    1
    3
    ，两边减去
    1
    2
    ，构造得出an-
    1
    2
    =
    1
    3
    (an-1-
    1
    2
    )    （n∈N*，n≥2），即可证明数列{an-
    1
    2
    }是以
    1
    3
    为公比的等比数列，通过求出{an-
    1
    2
    }的通项，求出数列{an}的通项an；
    （2）根据（1）的结果，利用分组求和：分成等比数列{(
    1
    3
    )    n    }与常数列{
    1
    2
    }的和计算求解
    解答：解：（1）由an=
    1
    3
    an+
    1
    3
    ，两边减去
    1
    2
    得an-
    1
    2
    =
    1
    3
    (an-1-
    1
    2
    )    （n∈N*，n≥2）
    根据等比数列的定义，可知数列{an-
    1
    2
    }是以
    1
    3
    为公比的等比数列，又首项为a1-
    1
    2
    =
    5
    6
    -
    1
    2
    =
    1
    3

    所以an-
    1
    2
    =(
    1
    3
    )    n    ，所以an=
    1
    2
    +(
    1
    3
    )    n
    （2）可以分成等比数列{(
    1
    3
    )    n    }与常数列{
    1
    2
    }的和．由分组求和得Sn=
    1
    3
    (1-(
    1
    3
    )    n    )
    1-
    1
    3
    +
    1
    2
    n    =
    1
    2
    -
    1
    2
    (
    1
    3
    )    n    +
    1
    2
    n
    点评：本题考查等比数列的判定、通项公式求解．考查变形构造、转化、计算能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
    （1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
    （2）设0＜c＜
    1
    3
    ，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
    （3）设0＜c＜
    1
    3
    ，证明：
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    +…
    a
    2
    n
    ＞n+1-
    2
    1-3c
    ，n∈N*    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=
    1
    4x+m
    (m＞0)    ，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
    1
    2
    ．
    （1）求m的值；
    （2）设数列an满足an=f(
    0
    n
    )+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n
    n
    )    ，求an的通项公式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式
    （Ⅱ）设a=
    1
    2
    ，c=
    1
    2
    ，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设n∈N*，不等式组
    x＞0
    y＞0
    y≤-nx+2n
    所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
    （1）求（xn，yn）；
    （2）设数列{an}满足a1=x1，an=
    y
    2
    n
    (
    1
    y
    2
    1
    +
    1
    y
    2
    2
    +…+
    1
    y
    2
    n-1
    )，(n≥2)    ，求证：n≥2时，
    an+1
    (n+1
    )
    2
     
    -
    an
    n
    2
     
    =
    1
    n
    2
     
    ；
    （3）在（2）的条件下，比较(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )    与4的大小．

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