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设数列{an}满足a1=0,an+1=can3+1-c,n∈N*,其中c为实数
(1)证明:an∈[0,1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0,1];
(2)设0<c<
1
3
,证明:an≥1-(3c)n-1,n∈N*
(3)设0<c<
1
3
,证明:
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
>n+1-
2
1-3c
,n∈N*
分析:(1)先证明必要性:a2∈[0,1]?c∈[0,1],再证明充分性:设c∈[0,1],对n∈N*用数学归纳法证明an∈[0,1].
(2)设0<c<
1
3
,当n=1时,a1=0,结论成立.当n≥2时,an=can-13+1-c,1-an=c(1-an-1)(1+an-1+an-12),所以1+an-1+an-12≤3且1-an-1≥0,由此能够导出an≥1-(3c)n-1(n∈N*).
(3)设0<c<
1
3
,当n=1时,
a
2
1
=0>2-
2
1-3c
,结论成立.当n≥2时,an2≥(1-(3c)n-12=1-2(3c)n-1+(3c)2(n-1)>1-2(3c)n-1,所以
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
>n+1-
2
1-3c
,n∈N*
解答:解:(1)必要性:∵a1=0,∴a2=1-c,
又∵a2∈[0,1],∴0≤1-c≤1,即c∈[0,1]
充分性:设c∈[0,1],对n∈N*用数学归纳法证明an∈[0,1]
当n=1时,a1=0∈[0,1].假设ak∈[0,1](k≥1)
则ak+1=cak3+1-c≤c+1-c=1,且ak+1=cak3+1-c≥1-c=≥0
∴ak+1∈[0,1],由数学归纳法知an∈[0,1]对所有n∈N*成立

(2)设0<c<
1
3
,当n=1时,a1=0,结论成立,
当n≥2时,∵an=can-13+1-c,
∴1-an=c(1-an-1)(1+an-1+an-12
0<C<
1
3
,由(1)知an-1∈[0,1],所以1+an-1+an-12≤3且1-an-1≥0
∴1-an≤3c(1-an-1
∴1-an≤3c(1-an-1)≤(3c)2(1-an-2)≤≤(3c)n-1(1-a1)=(3c)n-1
∴an≥1-(3c)n-1(n∈N*
(3)设0<c<
1
3
,当n=1时,
a
2
1
=0>2-
2
1-3c
,结论成立
当n≥2时,由(2)知an≥1-(3c)n-1>0
∴an2≥(1-(3c)n-12=1-2(3c)n-1+(3c)2(n-1)>1-2(3c)n-1
∴a12+a22+…+an2=a22+…+an2>n-1-2[3c+(3c)2+…+(3c)n-1]
=n-1-2×
3c[1-(3c)n-1]
1-3c

=n-1-2×
3c-(3c)n
1-3c

=n+1-
2(1-(3c)n)
1-3c
>n+1-
2
1-3c
点评:本题考查数列和不等式的综合应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地选用证明方法.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都有
.
PnPn+1
=(1,2)
,则数列{an}的通项公式为(  )

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(2013•日照一模)若数列{bn}:对于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常数),则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.如:若cn=
4n-1,当n为奇数时
4n+9,当n为偶数时.
则{cn}
是公差为8的准等差数列.
(I)设数列{an}满足:a1=a,对于n∈N*,都有an+an+1=2n.求证:{an}为准等差数列,并求其通项公式:
(Ⅱ)设(I)中的数列{an}的前n项和为Sn,试研究:是否存在实数a,使得数列Sn有连续的两项都等于50.若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.

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(2013•日照一模)若数列{bn}:对于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常数),则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.如数列cn:若cn=
4n-1,当n为奇数时
4n+9,当n为偶数时
,则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足:a1=a,对于n∈N*,都有an+an+1=2n.
(Ⅰ)求证:{an}为准等差数列;
(Ⅱ)求证:{an}的通项公式及前20项和S20

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设数列{an}满足a1=1,a2+a4=6,且对任意n∈N*,函数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
π
2
)=0
cn=an+
1
2an
,则数列{cn}的前n项和Sn为(  )
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-
1
an
,令An=a1a2an,则A2013
=(  )

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