分析:(1)先证明必要性:a
2∈[0,1]?c∈[0,1],再证明充分性:设c∈[0,1],对n∈N
*用数学归纳法证明a
n∈[0,1].
(2)设
0<c<,当n=1时,a
1=0,结论成立.当n≥2时,a
n=ca
n-13+1-c,1-a
n=c(1-a
n-1)(1+a
n-1+a
n-12),所以1+a
n-1+a
n-12≤3且1-a
n-1≥0,由此能够导出a
n≥1-(3c)
n-1(n∈N
*).
(3)设
0<c<,当n=1时,
=0>2-,结论成立.当n≥2时,a
n2≥(1-(3c)
n-1)
2=1-2(3c)
n-1+(3c)
2(n-1)>1-2(3c)
n-1,所以
++…>n+1-,n∈N*.
解答:解:(1)必要性:∵a
1=0,∴a
2=1-c,
又∵a
2∈[0,1],∴0≤1-c≤1,即c∈[0,1]
充分性:设c∈[0,1],对n∈N
*用数学归纳法证明a
n∈[0,1]
当n=1时,a
1=0∈[0,1].假设a
k∈[0,1](k≥1)
则a
k+1=ca
k3+1-c≤c+1-c=1,且a
k+1=ca
k3+1-c≥1-c=≥0
∴a
k+1∈[0,1],由数学归纳法知a
n∈[0,1]对所有n∈N
*成立
(2)设
0<c<,当n=1时,a
1=0,结论成立,
当n≥2时,∵a
n=ca
n-13+1-c,
∴1-a
n=c(1-a
n-1)(1+a
n-1+a
n-12)
∵
0<C<,由(1)知a
n-1∈[0,1],所以1+a
n-1+a
n-12≤3且1-a
n-1≥0
∴1-a
n≤3c(1-a
n-1)
∴1-a
n≤3c(1-a
n-1)≤(3c)
2(1-a
n-2)≤≤(3c)
n-1(1-a
1)=(3c)
n-1∴a
n≥1-(3c)
n-1(n∈N
*)
(3)设
0<c<,当n=1时,
=0>2-,结论成立
当n≥2时,由(2)知a
n≥1-(3c)
n-1>0
∴a
n2≥(1-(3c)
n-1)
2=1-2(3c)
n-1+(3c)
2(n-1)>1-2(3c)
n-1∴a
12+a
22+…+a
n2=a
22+…+a
n2>n-1-2[3c+(3c)
2+…+(3c)
n-1]
=n-1-2×
=n-1-2×
=
n+1->n+1- 点评:本题考查数列和不等式的综合应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地选用证明方法.