Question

由下列不等式：1＞

1

2

，1+

1

2

+

1

3

＞1，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

＞

3

2

，1+

1

2

+

1

3

+…

1

15

＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

Answer 1

分析：根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可．

解答：解：根据给出的几个不等式1+

1

2

+

1

3

＞1，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

＞

3

2

，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

15

＞2，…
可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＞

n

2

，n∈Z．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，1＞

1

2

，猜想正确．
②假设n=k时猜想成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

＞

k

2

，
则n=k+1时，
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k+1

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

=

k

2

+

2k

2k+1

=

k+1

2

，
即当n=k+1时，猜想也成立，
所以对任意的n∈N⁺，不等式成立．

点评：本题考查数学猜想，以及数学归纳法的证明，注意n=k+1时必须用上假设，考查逻辑思维能力，计算能力．