Question

定义在区间[-π，

2

3

π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，当x∈[-

π

6

，

2

3

π]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，其图象如图．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在[-π，

2

3

π]上的表达式；
（Ⅱ）求方程f(x)=

2

2

的解集．

Answer 1

分析：（1）观察图象易得当x∈[ -

π

6

 ， 

2

3

π ]时，：A=1 ， ω=1 ， φ=

π

3

，再由函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称求出[ -π ，-

1

6

π ]上的解析式，即可得到函数y=f（x）在[ -π ， 

2

3

π ]的表达式；
（2）由（1）函数的解析式是一个分段函数，故分段解方程求方程f(x)=

2

2

的解．

解答：解：（1）当x∈[ -

π

6

 ， 

2

3

π ]时，
函数f(x)=Asin(ωx+φ)  (A＞0 ， ω＞0 ， -

π

2

＜φ＜

π

2

)，观察图象易得：A=1，周期为2π，可得ω=1，
再将点(

π

6

，1)代入，结合题设可得φ=

π

3

，即函数f(x)=sin(x+

π

3

)，
由函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称得，x∈[ -π ， -

π

6

 ]时，函数f（x）=-sinx．
∴f(x)=

sin(x+ π 3 )，x∈[- π 6 ， 2π 3 ] -sinx，x∈[-π，- π 6 )

．
（2）当x∈[ -

π

6

 ， 

2

3

π ]时，
由sin(x+

π

3

)=

2

2

得，x+

π

3

=

π

4

或

3π

4

⇒x=-

π

12

或x=

5π

12

；
当x∈[ -π ， -

π

6

 ]时，由-sinx=

2

2

得，x=-

3π

4

或x=-

π

4

．
∴方程f(x)=

2

2

的解集为{ -

3π

4

 ， -

π

4

 ， -

π

12

 ， 

5π

12

 }

点评：本题考查由函数的部分图象求函数的解析式，解题的关键是熟练掌握三角函数图象的特征，根据这些特征求出解析式中的系数，得出函数的解析式，本题涉及到函数的对称性求解析式，以及解三角方程，运算量较大，易因运算导致错误，解题时要谨慎．