练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一个顶点为（0，
    		3
    ），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=
    1
    2
    ，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：
    |AB|2
    |MN|
    为定值．
    分析：（1）由椭圆的顶点为（0，
    		3
    ）和e=
    c
    a
    =
    1
    2
    ，能求出椭圆的标准方程．
    （2）分情况讨论：斜率不存在，l的方程为x=1，|MN|=3，|AB|=2
    		3
    ，
    |AB|2
    |MN|
    =4．若直线斜率存在，则设直线l方程为y=k（x-1），设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），|MN|=
    		1+k2
    |x1-x2|=
    12(k2+1)
    3+4k2
    ．|AB|=
    		1+k2
    |x3-x4|，由此能证明
    |AB|2
    |MN|
    =4为定值．
    解答：解：（1）椭圆的顶点为（0，
    		3
    ），即b=
    		3
    ，
    e=
    c
    a
    =
    1
    2
    ，所以a=2，
    ∴椭圆的标准方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1        …（4分）
    （2）斜率不存在，l的方程为x=1，|MN|=3，|AB|=2
    		3
    ，
    |AB|2
    |MN|
    =4．
    若直线斜率存在，则设直线l方程为y=k（x-1），设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），
    由（2）可得：|MN|=
    		1+k2
    |x1-x2|=
    		(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
    =
    12(k2+1)
    3+4k2
    ．
    由
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    y=kx
    消去y，并整理得x2=
    12
    3+4k2
    ，
    |AB|=
    		1+k2
    |x3-x4|=4
    		3(1+k2)
    3+4k2
    ，
    ∴
    |AB|2
    |MN|
    =4为定值．
    点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
    （1）求椭圆离心率e；
    （2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且
    OP
    •
    OQ
    =-
    5
    3
    求椭圆C的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
    F1F2
    +
    F2Q
    =
    0
    ．
    （1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
    		3
    y-3=0相切，求椭圆C的方程；
    （2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
    1
    |F2M|
    +
    1
    |F2N|
    为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•盐城一模）设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值
    		5
    +2
    		5
    +2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P 是椭圆上的一点，|
    PF1
    |+|
    PF2
    |=4    ，离心率e=
    		3
    2
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
    PF1
    •
    PF2
    =-
    5
    4
    ，求点P的坐标；
    （3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e=
    		2
    2
    ，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-
    		3
    y-3=0    相切．
    （I）求椭圆C的方程；
    （II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案