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(08年莆田四中一模理)(12分)

如图,在四棱锥中,底面为矩形,⊥底面上一点.已知= ,=

  (1)求证,⊥平面

  (2)求二面角的大小.

 

解析:方法一:(1)在Rt△ADE中,AE=AD?tan

       -----2分

    在Rt△ADE和Rt△EBC中,

    ∴Rt△DAE∽Rt△EBC

    ∴∠ADE=∠EBC=  又∠AED= 

    ∴∠DEC=90°即DE⊥EC

    又∵PD⊥平面ABCD   ∴PD⊥CE

    ∴CE⊥平面PED    ---------   6分

 

(2)过E作EG⊥CD交CD于G,作GH⊥PC交于PC于H,连结EH.

因PD⊥底面ABCD,所以PD⊥EG.   从而EG⊥平面PCD.

∵GH⊥PC,由三垂线定理得EH⊥PC

∴∠EHG为二面角E―PC―D的平面角   ---------10分

在△PDC中,PD=,CD=2,GC=

由△PDC∽△GHC得GH=PD       又EG=AD=

∴在Rt△EHG中,GH=EG.  ∴∠EHG=   ------12分

方法二:

(1)       以D为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,

由已知可得

D(0,0,0),P(0,0,),C(0,2,0),A(,0,0)

B( --------------2分

    -----4分

    即CE⊥DE,CE⊥DP   ∴CE⊥平面PED  (6分)

(2)设平面PEC的法向量nx,y,z)   ------6分

则由    得

   令,则)--10分

∵AD⊥平面PDC    ∴即为平面PDC的法向量

         即二面角E―PC―D的大小为.   ----12分

 

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