Question

20．给出下列四个命题：
①椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则b=c
②双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离是b；
③已知抛物线y²=2px上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0（O为原点），则y₁y₂=-p²；
④动点M到两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且≠1），则动点M的轨迹是圆．
其中的真命题是①②④．（把你认为是真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①根据椭圆得离心率的定义可求得b，c的关系．
②双曲线的一个焦点（c，0），一条渐近线是bx-ay=0，由点到直线距离公式可求出双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离．
③利用直线和抛物线的位置关系判断．
④由圆的性质知此命题成立

解答 解：对①，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}+{c}^{2}}=\frac{1}{2}$，即b²=c²，所以b=c．故①正确．
对于②，双曲线的一个焦点（c，0），一条渐近线是bx-ay=0，
由点到直线距离公式，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：$\frac{|b×c-a×0|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=b$，故②正确．
对于③，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，并且满足OA⊥OB．
∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，则$\frac{{（y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}+{y}_{1}{y}_{2}=0$，解得y₁y₂=-4p²，所以③错误．
对于④，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，设M（x，y），A（-a，0），B（a，0），则有$\frac{\sqrt{（x+a）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-a）^{2}+{y}^{2}}}=λ$，
化简得（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（2a+2aλ²）x+a²-a²λ²=0，所以动点M的轨迹是圆，④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查利用曲线的方程判断曲线的形状；考查椭圆中三个参数的关系；考查双曲线中渐近线的方程，属于一道综合题．