Question

10．已知圆M经过双曲线C：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线C上，则圆心M到双曲线中心距离为（　　）

• A． $\frac{13}{4}$或$\frac{7}{3}$
• B． $\frac{16}{3}$或$\frac{8}{3}$
• C． $\frac{13}{3}$
• D． $\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 根据，⊙M经过双曲线C：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1的一个顶点和一个焦点，可得圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，从而可得圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M的纵坐标，即可求出圆心M到双曲线的中心的距离．

解答 解：∵⊙M经过双曲线C：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}$=1的一个顶点和一个焦点，
∴圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，∴顶点坐标为（3，0）焦点坐标为（5，0）则中点坐标为（4，0），而中点的横坐标即为圆心横坐标．
∴圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M的纵坐标为y_M=±$\sqrt{16×（\frac{16}{9}-1）}$=±$\frac{4\sqrt{7}}{3}$，
∴点M到原点的距离|MO|=$\sqrt{16+（\frac{4\sqrt{7}}{3}）^{2}}$=$\frac{16}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线与圆的交汇问题，考查学生的计算能力，属于中档题．