Question

15．已知p：$\frac{x-5}{x-3}≥2$，q：x²-ax≤x-a，若?p是?q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若p真，解分式不等式求出集合A，若q真，解一元二次不等式求出B，由条件推出 B?A，进而得到a=1，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜3}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a∈∅}\end{array}\right.$，由此求得实数a的取值范围

解答 解：由p：$\frac{x-5}{x-3}≥2$解得1≤x＜3，记A=[1，3）．
由q：x²-ax≤x-a，得到（x-a）（x-1）≤0，记解集为B
∴?p⇒?q得 q⇒p，
∴q是p的子集，
当a=1时，B={1}．
当a＞1时，B=[1，a]；当a＜1时，B=[a，1]，
∴a=1，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜3}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a∈∅}\end{array}\right.$，
解得1≤a＜3，
故a的取值范围是[1，3）．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断方法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．