Question

3．已知$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$分别是与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{O{A}_{2}}$=5$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{{A}_{n-1}{A}_{n}}$=2$\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{n+1}}$（n≥2，n∈N₊），$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{{B}_{n}{B}_{n+1}}$=2$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$（n∈N₊）．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{{A}_{7}{A}_{8}}$|；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{O{A}_{n}}$，$\overrightarrow{O{B}_{n}}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的加减运算法则，求出向量$\overrightarrow{{A}_{7}{A}_{8}}$，再求模长即可；
（2）根据平面向量的加法运算法则，求出$\overrightarrow{O{A_n}}$、$\overrightarrow{O{B_n}}$的坐标表示．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{{{A}_{n-1}A}_{n}}$=2$\overrightarrow{{{A}_{n}A}_{n+1}}$，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=2$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{3}}$=2²$\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}$=2³$\overrightarrow{{{A}_{4}A}_{5}}$=…=2⁶$\overrightarrow{{{A}_{7}A}_{8}}$；
又∵$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=5$\overrightarrow{j}$-$\overrightarrow{j}$=4$\overrightarrow{j}$，
∴$\overrightarrow{{A}_{7}{A}_{8}}$=$\frac{1}{16}$$\overrightarrow{j}$，
∴|$\overrightarrow{{A}_{7}{A}_{8}}$|=$\frac{1}{16}$；…（4分）
（2）n=1时，$\overrightarrow{O{A_n}}$=$\overrightarrow{{OA}_{1}}$=$\overrightarrow{j}$，
n≥2时，$\overrightarrow{O{A_n}}$=$\overrightarrow{O{A_1}}+$$\overrightarrow{{A_1}{A_2}}+\overrightarrow{{A_2}{A_3}}+…$$\overrightarrow{{A_{n-1}}{A_n}}$
=$\overrightarrow{j}$+[4$\overrightarrow{j}$+2$\overrightarrow{j}$+…+4•${（\frac{1}{2}）}^{n-2}$•$\overrightarrow{j}$]
=$\overrightarrow{j}$+$\frac{4[1{-（\frac{1}{2}）}^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$$\overrightarrow{j}$
=（9-2^4-n）$\overrightarrow{j}$，
从而，$\overrightarrow{O{A_n}}$=（0，9-2^4-n）；…（8分）
$\overrightarrow{O{B_n}}$=$\overrightarrow{O{B_1}}+$$\overrightarrow{{B_1}{B_2}}+\overrightarrow{{B_2}{B_3}}+…$$\overrightarrow{{B_{n-1}}{B_n}}$
=$（3\overrightarrow i+3\overrightarrow j）+（n-1）（2\overrightarrow i+2\overrightarrow j）$
=$（2n+1）\overrightarrow i+（2n+1）\overrightarrow j$；
从而，$\overrightarrow{O{B_n}}$=（2n+1，2n+1）．…（12分）

点评 本题考查了平面向量加减运算以及向量的坐标运算问题，也考查了向量的求模问题，是基础题目．