Question

11．设函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π），y=f（x）图象的一个对称中心是$（\frac{π}{3}，0）$．
（Ⅰ）求φ； 
（Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在x∈[0，π]的图象；
（Ⅲ）求函数f（x）≥1（x∈R）的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的对称中心代入即可求φ； 
（Ⅱ）利用五点法即可在给定的平面直角坐标系中作出该函数在x∈[0，π]的图象；
（Ⅲ）结合三角不等式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$（\frac{π}{3}，0）$是函数y=f（x）的图象的对称中心，
∴$2sin（2×\frac{π}{3}+φ）=0$，∴$\frac{2π}{3}+φ=kπ（k∈Z）$，
∴$φ=kπ-\frac{2π}{3}$∵0＜φ＜π，∴$φ=\frac{π}{3}$，
即$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$．
（Ⅱ）列表

x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
$2x+\frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{7π}{3}$
f（x）	$\sqrt{3}$	2	0	-2	0	$\sqrt{3}$

（Ⅲ）∵f（x）≥1，
即$2sin（2x+\frac{π}{3}）≥1$$sin（2x+\frac{π}{3}）≥\frac{1}{2}$，$\frac{π}{6}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}+2kπ，k∈Z$．
∴$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$，
求函数f（x）≥1（x∈R）的解集是$x∈[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{π}{4}+kπ]，k∈Z$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出φ的值是解决本题的关键．