Question

20．已知函数f（x）满足f（x）=f（$\frac{1}{x}$），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[$\frac{1}{3}$，3]内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 根据已知即可求得f（x）在[$\frac{1}{3}$，1]上的解析式为f（x）=-lnx，从而可画出f（x）在$[\frac{1}{3}，3]$上的图象，而容易知道g（x）与x轴交点个数便是y=f（x）与y=ax交点个数．通过图象可以看出直线y=ax在其与f（x）=lnx的切点和曲线y=f（x）的右端点之间，从而分别求出相切时a的值和经过右端点时a的值即可．

解答 解：设x∈$[\frac{1}{3}，1]$，则$\frac{1}{x}$∈[1，3]；
∴根据条件$f（x）=f（\frac{1}{x}）=ln\frac{1}{x}=-lnx$；
g（x）与x轴有三个不同的交点即表示函数y=f（x）和函数y=ax有三个不同交点，如图所示：

由图可看出当直线y=ax与曲线f（x）=lnx，x∈[1，3]，相切时直线y=ax和曲线y=f（x）有两个公共点；
若直线y=ax再向下旋转便有三个交点，直到y=ax经过曲线y=f（x）的右端点，再向下旋转便成了两个交点；
设切点为（x₀，lnx₀），∴$a=\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，又$（lnx）′=\frac{1}{x}$，∴$a=\frac{1}{{x}_{0}}$；
∴此时lnx₀=1，x₀=e；
∴此时a=$\frac{1}{e}$；
y=f（x）的右端点坐标为（3，ln3）；
∴直线y=ax经过右端点时，a=$\frac{ln3}{3}$；
∴实数a的取值范围是$[\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}）$．
故答案为：[$\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}$）．

点评 考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，以及直线和曲线相切时的斜率和曲线在切点处导数的关系．