Question

15．已知数列{a_n}中，${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+1}}$如果${b_n}=\frac{a_n}{n+2}$，则数列{b_n}的前n项和为$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（{n}^{2}+3n+2）}$．

Answer 1

分析 由${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+1}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差数列的通项公式可得：a_n=$\frac{1}{n}$．可得b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+1}}$，
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∴${b_n}=\frac{a_n}{n+2}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
则数列{b_n}的前n项和=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（{n}^{2}+3n+2）}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的通项公式、递推式的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．