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    已知函数f(x)=x-
    2
    x
    +1-alnx    ，a＞0，
    （1）讨论f（x）的单调性；
    （2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．
    （I）∵函数f(x)=x-
    2
    x
    +1-alnx    ，a＞0
    ∴f′（x）=1+
    2
    x2
    -
    a
    x
    ，x＞0
    令t=
    1
    x
    ＞0
    y=2t2-at+1（t≠0）
    ①△=a2-8≤0，即：0＜a≤2
    		2
    ，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
    ②△=a2-8＞0，即：a＞2
    		2
    ，y=0有两个不等根
    由2t2-at+1＞0，得t＜
    a-
    		a2-8
    4
    或t＞
    a+
    		a2-8
    4
    ，又x＞0
    ∴0＜x＜
    a-
    		a2-8
    2
    或x＜0或x＞
    a+
    		a2-8
    2

    由2t2-at+1＜0，得
    a-
    		a2-8
    2
    ＜t＜
    a+
    		a2-8
    2

    ∴
    a-
    		a2-8
    2
    ＜x＜
    a+
    		a2-8
    2

    综上：①0＜a≤2
    		2
    ，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
    ②a＞2
    		2
    函数f（x）(0，
    a-
    		a2-8
    2
    )，(
    a+
    		a2-8
    2
    ，+∞)    上是增函数，在(
    a-
    		a2-8
    2
    ，
    a+
    		a2-8
    2
    )    上是减函数，
    （2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
    故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e2]上是增函数
    又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e2）=e2-
    2
    e2
    -5＞0
    ∴f（x）在区间[1，e2]上值域是[2-3ln2，e2-
    2
    e2
    -5    ]
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
    （1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

    已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
    A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
    B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
    C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
    D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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