Question

已知函数.
（1）当时,求函数的单调区间;
（2）若函数有两个极值点,且,求证:;
（Ⅲ）设,对于任意时,总存在,使成立,求实数的取值范围.

Answer 1

（1）的递增区间为和,递减区间为；（2）详见解析；（Ⅲ）实数的取值范围为．

试题分析：（1）当时,求函数的单调区间，由于函数含有对数函数，可通过求导来确定单调区间，由函数，对求导得，，令，，解不等式得函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点,且,求证:，由于有两个极值点,则有两个不等的实根，由根与系数关系可得，，用表示，代入，利用即可证明；（Ⅲ）对于任意时,总存在,使成立，即恒成立，因此求出，这样问题转化为，在上恒成立，构造函数，分类讨论可求出实数的取值范围．
试题解析：
（1）当时,,
令或,,
的递增区间为和,递减区间为.
（2）由于有两个极值点,则有两个不等的实根,


设
,在上递减,
,即.
（Ⅲ）,

,,在递增,
,
在上恒成立
令,
则在上恒成立
,又
当时，,在(2,4)递减,,不合;
当时,,
①时,在(2,)递减,存在,不合;
②时, 在(2,4)递增,,满足.
综上, 实数的取值范围为.