Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：x=2，l₂：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t为常数）；若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图象可知函数图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16，分别代入即可解得a、b、c的值
（Ⅱ）先求出直线l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t为常数）与抛物线f（x）=-x²+8x的交点横坐标（用t表示），再利用定积分的几何意义求两部分面积之和即可
（Ⅲ）先令H（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数H（x）=x²-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点，再利用导数研究函数H（x）的单调性和极值，数形结合得满足题意的不等式组，解之可得m的值

解答：解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16
则

c=0 a•82+b•8+c=0 4ac-b2 4a =16

解之得：

a=-1 b=8 c=0

，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+8x
（Ⅱ）由

y=-t2+8t y=-x2+8x

得x²-8x-t（t-8）=0，∴x₁=t，x₂=8-t，
∵0≤t≤2，∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（t，-t²+8t）
由定积分的几何意义知：S(t)=

∫

t 0

[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+

∫

2 t

[(-x2+8x)-(-t2+8t]dx=[(-t2+8t)x-(-

x3

3

+4x2)] |_t+[(-

x3

3

+4x2)-(-t2+8t)•x] 

|

2 t

=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

（Ⅲ）令H（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m．
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数H（x）=x²-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴H′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)
∴x=1或x=3时，H′（x）=0
当x∈（0，1）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数；
当x∈（1，3）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数
当x∈（3，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数
∴H（x）极大值为H（1）=m-7；H（x）极小值为H（3）=m+6ln3-15
又因为当x→0时，H（x）→-∞；当x→+∞时，H（x）→+∞
所以要使?（x）=0有且仅有两个不同的正根，必须且只须

H(1)=0 H (3)＜0

或

H(3)=0 H(1)＞0

即

m-7=0 m+6ln3-15＜0

或

m+6ln3-15=0 m-7＞0

，∴m=7或m=15-6ln3．
∴当m=7或m=15-6ln3．时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点

点评：本题综合考查了二次函数的图象和性质、定积分的几何意义、导数与函数零点等多个知识点，解题时要综合掌握各种知识，熟练运用数形结合、分类讨论思想解决问题