Question

14．在锐角△ABC中，|BC|=$\frac{1}{2}$，∠B=2∠A，则|AC|的取值范围是$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

Answer 1

分析 根据锐角△ABC和∠B=2∠A求出∠C，列出不等式组求出A的范围，根据正弦定理及二倍角的正弦公式化简，根据余弦函数单调性求出|AC|的取值范围．

解答 解：∵△ABC是锐角三角形，且∠B=2∠A，
∴∠C=π-∠A-∠B=π-3∠A，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜2∠A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3∠A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{6}＜∠A＜\frac{π}{4}$，
又|BC|=$\frac{1}{2}$，由正弦定理得$\frac{|BC|}{sin∠A}=\frac{|AC|}{sin∠B}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{sin∠A}=\frac{|AC|}{2sin∠Acos∠A}$，得|AC|=cos∠A，
∴|AC|的取值范围是$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
故答案为：$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

点评 本题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化简求值，解题关键是根据锐角三角形、内角和定理求出角的范围．