Question

14．已知直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的左支交于不同的两点，则k的取值范围是$1＜k＜\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．

Answer 1

分析 根据直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的左支交于不同的两点，可得直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，进而构造关于k的不等式组，解不等式可得答案．

解答 解：联立直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6得（1-k²）x²-4kx-10=0…①
若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的左支交于不同的两点，
则方程①有两个不等的负根
∴$\left\{\begin{array}{l}{16{k}^{2}+40（1-{k}^{2}）＞0}\\{\frac{-10}{1-{k}^{2}}＞0}\\{\frac{4k}{1-{k}^{2}}＜0}\end{array}\right.$
解得：$1＜k＜\frac{{\sqrt{15}}}{3}$；
故答案为：$1＜k＜\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是双曲线的简单性质，其中分析出题目的含义是直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，是解答的关键．