Question

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-（1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。

（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。

Answer 1

解：（1）在 y=kx-（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得 kx-（1+k²）x²=0
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0
∴，当且仅当k=1时取等号
∴炮的最大射程是10千米。
（2）∵a＞0，
∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka-（1+k²）a²=3.2成立，
即关于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根
由△=400a²-4a²（a²+64）≥0得a≤6
此时，k=＞0（不考虑另一根）
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标。