Question

已知函数.

(1) 讨论函数的单调性；

(2) 讨论函数的零点个数问题

(3) 当时，证明不等式.

Answer 1

 (1)解　f′(x)＝a－＝(x>0)．

当a≤0时，ax－1<0，从而f′(x)<0，

函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

当a>0时，若0<x<，则ax－1<0，从而f′(x)<0，

若x>，则ax－1>0，从而f′(x)>0，

函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）

(3)证明　不等式e^xln(1＋y)>e^yln(1＋x)⇔>.

构造函数h(x)＝，

则h′(x)＝＝，

可知函数在(e，＋∞)上h′(x)>0，

即函数h(x)在(e，＋∞)上单调递增，由于x>y>e－1，

所以x＋1>y＋1>e，所以>，

所以e^xln(1＋y)>e^yln(1＋x)．