Question

15．如图所示，在△ABC中，AD∩CE=F，AD⊥EG，且F为△ABC的内心．
（1）若B、D、F、E四点共圆，求∠B的大小；
（2）在（1）的条件下，求证：CE平分∠DEG．

Answer 1

分析 （1）利用F为△ABC的内心，可得∠AFE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C），利用B、D、F、E四点共圆，可得∠AFE=∠B=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C），即可求∠B的大小；
（2）在（1）的条件下，证明∠FED=∠FEG，即可证明CE平分∠DEG．

解答 （1）解：∵F为△ABC的内心，
∴∠AFE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C），
∵B、D、F、E四点共圆，
∴∠AFE=∠B=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C），
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=60°；
（2）解：连接BF，
∵F为△ABC的内心，
∴∠EBF=∠DBF，
∵B、D、F、E四点共圆，
∴$\widehat{EF}$=$\widehat{DF}$，
∴EF=DF，
∴∠FED=∠FDE，
∵AD⊥EG，
∴∠GEF=30°，
∴∠FED=∠FEG=30°，
∴CE平分∠DEG．

点评 本题考查四点共圆的性质，考查三角形内心的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．