Question

6．已知圆C：x²+y²=20，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出圆C的参数方程及直线l的普通方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P （3，2），求|PA|×|PB|的值和|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的平方关系得到圆C的参数方程，消去参数t得到直线的普通方程；
（2）把直线参数方程代入圆的普通方程化简可得t²-$\sqrt{2}$t-7=0，利用根与系数的关系，以及|PA|=|t₁|、|PB|=|t₂|，求出|PA|×|PB|和|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）由题意知圆C：x²+y²=20，
则圆C的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{5}cosθ}\\{y=2\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$得，x+y-5=0；
（2）将l的参数方程代入圆的方程可得，
$（3-\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}+（2+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=20$，化简得${t}^{2}-\sqrt{2}t-7=0$，
设t₁，t₂是方程的两个实根，则t₁+t₂=$\sqrt{2}$＞0，t₁t₂=-7＜0，
∵直线l过点P（3，2），
∴由几何意义可得|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=7，
|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{2-4×（-7）}$=$\sqrt{30}$．

点评 本题考查参数方程与普通方程互化，平方关系，以及直线方程中参数的几何意义，属于中档题．