Question

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知$\frac{cosA-2cosC}{cosB}=\frac{2c-a}{b}$．
（1）求$\frac{sinC}{sinA}$的值；
（2）若cosB=$\frac{1}{4}$，△ABC的周长为5，求b的长及△ABC的面积；
（3）若a=1，求A的最大值及此时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可得sinC=2sinA，即可得解．
（2）由（1）及正弦定理有$\frac{c}{a}=2$，结合周长为5，可得b=5-3a，由余弦定理即可解得a，b．c，又$cosB=\frac{1}{4}$，可求sinB，由三角形面积公式即可得解．
（3）由余弦定理与基本不等式可得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{b^2}+3}}{4b}=\frac{1}{4}（b+\frac{3}{b}）≥\frac{1}{4}×2\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合角的范围0＜A＜π，可得$0＜A≤\frac{π}{6}$，当且仅当$b=\frac{3}{b}$即$b=\sqrt{3}$时${A_{max}}=\frac{π}{6}$．

解答 解：（1）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
所以$\frac{cosA-2cosC}{cosB}=\frac{2c-a}{b}$=$\frac{2sinC-sinA}{sinB}$，
即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，
即有sin（A+B）=2sin（B+C），
即sinC=2sinA，
所以$\frac{sinC}{sinA}$=2．
（2）由（1）知$\frac{sinC}{sinA}$=2，所以有$\frac{c}{a}=2$，即c=2a，又因为△ABC的周长为5，
所以b=5-3a，由余弦定理得：b²=c²+a²-2accosB，即${（5-3a）^2}={（2a）^2}+{a^2}-4{a^2}×\frac{1}{4}$，解得a=1，
所以b=2．c=2，又因为$cosB=\frac{1}{4}$，所以$sinB=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
故△ABC的面积为$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
（3）∵$\frac{sinC}{sinA}=2$，a=1，
∴c=2
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{b^2}+3}}{4b}=\frac{1}{4}（b+\frac{3}{b}）≥\frac{1}{4}×2\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$0＜A≤\frac{π}{6}$，当且仅当$b=\frac{3}{b}$即$b=\sqrt{3}$时${A_{max}}=\frac{π}{6}$，
此时a²+b²=c²，△ABC为直角三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．