Question

4．设F为抛物线y²=4x的焦点，直线l与其交于A，B两点，与x轴交于P点，且以AB为直径的圆过原点O，则$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FP}$等于（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 令直线x=my+a（a≠0）与抛物线y²=4x相交于A，B，两点，联立直线方程与抛物线方程，结合以AB为直径的圆过原点O，先求出P点坐标，F点坐标，进而代入向量的数量积公式，可得答案．

解答 解：令直线x=my+a（a≠0）与抛物线y²=4x相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点．
由x=my+a，代入y²=4x得：y²-4my-4a=0
于是，y₁、y₂是此方程的两实根，由韦达定理得：y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a，
x₁x₂=（my₁+a）（my₂+a）=m²y₁y₂+ma（y₁+y₂）+a²=a²，
又∵以AB为直径的圆过原点O，
∴OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0
∴a²-4a=0，又a≠0，
∴a=4，
故P点坐标为（4，0），
又由F点坐标为（1，0），
故$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FP}$=（1，0）•（3，0）=3，
故选：B

点评 本题考查恒过定点的直线，考查韦达定理的应用，求得a的值是关键，也是难点，属于中档题．