Question

已知等差数列{a_n}和公比为q（q≠1）的正项等比数列{b_n}满足a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅，
（1）求等比数列{b_n}的公比q；
（2）记M_n=a₁+a₂+…+a_n，N_n=b₁+b₂+…+b_n，试比较M₅与N₅的大小．
（3）若a=1，设数列c_n=a_2n+1•b_2n+1，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）通过a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅，列出方程，结合正项等比数列{b_n}，求出等比数列{b_n}的公比q；
（2）通过（1）直接求出M_n=a₁+a₂+…+a_n，N_n=b₁+b₂+…+b_n，M₅与N₅即可利用作商法，比较出大小．
（3）a=1，推出数列c_n=a_2n+1•b_2n+1的通项公式，利用错位相减法，直接求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）因为a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅，
所以，a₁+2d=b₁q²=aq²
a₁+6d=b₁q⁴=aq⁴，
变形得：a（1-q²）=-2d ①
a（1-q⁴）=-6d ②
②÷①得，1+q²=3
正项等比数列{b_n}，
所以q²=2，
即，q=

2

．
（2）由（1）可知d=

a

2

，
M₅=

5×(a+a+4d)

2

=10a；
N₅=

a(1-( 2 )5)

1- 2

=

a(( 2 )5-1)

2 -1

=

a(2 2 -1)

2 -1

，

M5

N5

=

10a

a(2 2 -1) 2 -1

=

10( 2 -1)

2 2 -1

＞1，
M₅＞N₅．
（3）an=a+(n-1)

a

2

=

a

2

(n+1)，bn=a•(

2

)n-1
由题意若a=1，数列c_n=a_2n+1•b_2n+1=（2n+2）•(

2

)2n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹…①
2S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²…②
②-①得S_n=-2•2²-3•2³-2⁴-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²；
S_n=-4+（n+1）•2ⁿ⁺²-

4(1-2n-1)

1-2

=-4+（n+1）•2ⁿ⁺²+4（1-2^n-1）=（n+1）•2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹．

点评：本题是中档题，考查等差数列与等比数列的基本关系式，求解等比，前n项和的求法，错位相减法的应用，考查计算能力．