【题目】已知函数.
(Ⅰ)若的值域为,求的值;
(Ⅱ)巳,是否存在这祥的实数,使函数在区间内有且只有一个零点.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在,
【解析】
(1)的值域为,则函数必须是开口向上、与轴有唯一交点的二次函数.可以求出的值.
(2)已知某函数零点个数,求参数问题,函数零点问题可以转化为方程根或者通过转化变成两图象交点个数问题.本题中令 ,则它的图象非常熟悉,而在∈的图象则需要考虑是否是二次函数,当确定是二次函数时,考虑函数的开口方向,对称轴与区间的位置关系(为了更好的研究函数在区间的单调性,便于考虑它的性质).
(Ⅰ)函数的值域为,则,解得.
(Ⅱ)由,
即
令,,∈,原命题等价于两个函数与的图象在内有唯一交点.
(1)当时,在上递减,在上递增,
而g(1)=1>0=h(1),g(2)=-1<1=h(2),
∴函数与的图象在内有唯一交点.
(2)当时,图象开口向下,对称轴为,在上递减,
在上递增,与的图象在内有唯一交点,
当且仅当,即即.
∴
(3)当时,图象开口向上,对称轴为,在上递减,在上递增,与的图象在内有唯一交点,
,即即,
∴.
综上,存在实数,使函数于在区间内有且只有一个点.
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【题目】已知过原点的动直线与圆: 交于两点.
(1)若,求直线的方程;
(2)轴上是否存在定点,使得当变动时,总有直线的斜率之和为0?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为,,若椭圆经过点,且△PF1F2的面积为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设斜率为1的直线与以原点为圆心,半径为的圆交于A,B两点,与椭圆C交于C,D两点,且(),当取得最小值时,求直线的方程.
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【题目】已知函数.
(1)若,求的值;
(2)设,当时,的值域为,试求与的值;
(3)当时,记,如果对于区间上的任意三个实数、、,都存在以、、为边长的三角形,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数.
(1)设,判断函数在上的单调性,并加以证明;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
(3)设且时,的定义域和值域都是,求的最大值.
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【题目】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.
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