【题目】已知过原点的动直线
与圆
:
交于
两点.
(1)若,求直线
的方程;
(2)轴上是否存在定点
,使得当
变动时,总有直线
的斜率之和为0?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)先求出圆心C(-1,0)到直线l的距离为,利用点到直线距离公式能求出直线l的方程.
(2)设,直线MA、MB的斜率分别为k1,k2.设l的方程为y=kx,代入圆C的方程得(k2+1)x2+2x-3=0,由此利用韦达定理,结果已知条件能求出存在定点M(3,0),使得当l变动时,总有直线MA、MB的斜率之和为0.
试题解析:
(Ⅰ)设圆心到直线
的距离为
,则
当的斜率不存在时,
,不合题意
当的斜率存在时,设
的方程为
,由点到直线距离公式得
解得,故直线
的方程为
(Ⅱ)存在定点,且
,证明如下:
设,直线
、
的斜率分别为
.
当的斜率不存在时,由对称性可得
,
,符合题意
当的斜率存在时,设
的方程为
,代入圆
的方程
整理得
∴,
,
∴
当,即
时,有
,
所以存在定点符合题意,
.
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【题目】已知圆C1:与y轴交于O,A两点,圆C2过O,A两点,且直线C2O恰与圆C1相切;
(1)求圆C2的方程。
(2)若圆C2上一动点M,直线MO与圆C1的另一交点为N,在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立,若存在,求出定点坐标,若不存在,说明理由。
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【题目】已知椭圆:
,圆
:
的圆心
在椭圆上,点
到椭圆
的右焦点的距离为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线
,且
交椭圆
于
两点,直线
交圆
于
,
两点,且
为
的中点,求
面积的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,
,侧棱
,底面
为直角梯形,其中
,
为
中点.
(1)求证:;
(2)求异面直线与
所成角的余弦值;
(3)线段上是否存在
,使得它到平面
的距离为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】(改编)已知数列满足
,
,
.
(1)若,
,
,求实数
的取值范围;
(2)设数列满足:
,
,设
,若
,
,求
的取值范围;
(3)若成公比
的等比数列,且
,求正整数
的最大值,以及
取最大值时相应数列
的公比
.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
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