【题目】如图,在四棱锥中,
,侧棱
,底面
为直角梯形,其中
,
为
中点.
(1)求证:;
(2)求异面直线与
所成角的余弦值;
(3)线段上是否存在
,使得它到平面
的距离为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,
.
【解析】
试题分析:(1)由于三角形为等腰三角形,所以
,结合面面垂直的性质定理,有
;(2)连接
,易得所以四边形
是平行四边形,所以
是异面直线
与
所成的角.解直角三角形得余弦值为
;(3)假设存在点
,使得它到平面的距离为
.设
,则
,利用等体积法
,求得
,且
.
试题解析:
(1)证明:在中
,
为
中点,所以
.
又,
所以.
(2)解:连接,在直角梯形
中,
,
有且
,所以四边形
是平行四边形,
所以.
由(1)知,
为锐角,
所以是异面直线
与
所成的角.
因为,在
中,
,所以
,
在中,因为
,所以
,
在中,
,所以
,
所以异面直线与
所成的角的余弦值为
.
(3)解:假设存在点,使得它到平面的距离为
.
设,则
,由(2)得
,
在中,
,
所以,
由得
,所以存在点
满足题意,此时
.
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【题目】经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量(千辆/
)与汽车的平均速度
之间的函数关系式为
.
(I)若要求在该段时间内车流量超过2千辆/ ,则汽车在平均速度应在什么范围内?
(II)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?
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【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵与刍童
的组合体中
,
.台体体积公式:
,其中
分别为台体上、下底面面积,
为台体高.
(Ⅰ)证明:直线
平面
;
(Ⅱ)若,
,
,三棱锥
的体积
,求该组合体的体积.
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【题目】在平面直角坐标系中,点
,直线
.设圆
的半径为1,圆心在
上.
(1)若圆心也在直线
上,过点
作圆
的切线,求切线的方程;
(2)若圆上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
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【题目】已知过原点的动直线
与圆
:
交于
两点.
(1)若,求直线
的方程;
(2)轴上是否存在定点
,使得当
变动时,总有直线
的斜率之和为0?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知向量,
,
,函数
,已知
的图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点
(Ⅰ)求函数的解析式
(Ⅱ)先将函数图像上各点的横坐标变为原来的
倍,纵坐标不变,再向右平移
个单位长度,向下平移3个单位长度,得到函数
的图像,若函数
的图像关于原点对称,求实数
的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣
(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.
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