Question

【题目】已知函数.

（1）设，判断函数在上的单调性，并加以证明；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

（3）设且时，的定义域和值域都是，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）且；（3）最大值为

【解析】

（1）根据函数单调性的定义证明函数在，上的单调性；（2），则不等式对恒成立，令，易证在，递增，同理，递减，求出函数，与函数，建立不等关系，解之即可求出的范围；（3）由（1）及的定义域和值域都是，，则，是方程的两个不相等的正数根，等价于方程有两个不等的正数根，利用根与系数的关系即可求出的最大值.

（1）设，则，

，，，，，

即，因此函数在，上的单调递增．

（2），则不等式对恒成立，

即即不等式对恒成立，

令，易证在，递增，同理在，递减．

（1），（1），

且

（3）由（1）及的定义域和值域都是，得，，

因此，是方程的两个不相等的正数根，

等价于方程有两个不等的正数根，

即△且，

解得，

，

，

时，最大值为．