Question

如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，则以球心O为顶点，以球O被平面ACD₁所截得的圆为底面的圆锥的体积为

3

108

π

．

Answer 1

分析：根据正方体和球的结构特征，求得球O被平面ACD₁所截得的圆的半径r，再通过利用球的性质求出O到平面ACD₁的距离h即为圆锥的高，最后利用圆锥的体积求解即可．

解答：解：如图，O为球心，也是正方体的中心，
设球O被平面ACD₁所截得的圆的半径为r，AC中点为M，
则r=

1

3

D₁M=

6

6

，球的半径R=

1

2

，
则O到平面ACD₁的距离h=

R2-r2

=

3

6

，
故圆锥的体积V=

1

3

πr²h=

3

108

π．
故答案为：

3

108

π．

点评：本题考查了正方体和它的内接球的结构特征、圆锥的体积，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力．