Question

【题目】已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；
（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2， 当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，所以x∈；
当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣ ，所以﹣ ≤x＜1；
当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，所以1≤x≤6；
综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为M={x|﹣ ≤x≤6}；
（Ⅱ）f（x）= ，
令y=x﹣a，当直线经过点（1，3）时，﹣a=2，
所以当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；
当﹣a＜2即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+ ，
所以a≥2+ ，即a≥4，
综上，a≤﹣2或a≥4．
解法二：（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x= ，
因为对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，
所以﹣a≥g（x）max ，
①当a＞1时，g（x）max=g（a）=﹣2a+4，
所以﹣a≥﹣2a+4，所以a≥4，符合a＞1．
②当a≤1时，g（x）max=g（1）=2，
所以﹣a≥2，所以a≤﹣2，符合a≤1，
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．
【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）法一：求出f（x）的分段函数的形式，令y=x﹣a，通过讨论求出a的范围即可；法二：设g（x）=f（x）﹣x，问题转化为﹣a≥g（x）max ， 求出g（x）的最大值，得到a的范围即可．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．